Analysis Beispiele

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Schritt 1

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Schritt 1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Schritt 1.4

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Schritt 1.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{8} (x)$ heraus.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Schritt 1.6

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ und $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Schritt 1.9

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{7} (x)$ heraus.

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Schritt 1.10

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.11

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.12

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.13

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Schritt 1.13.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.13.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.14

Multipliziere $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

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Schritt 1.14.1

Kombiniere $\tan (x)$ und $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Schritt 1.14.2

Kombiniere $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ und $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Schritt 1.15

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{6} (x)$ heraus.

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Schritt 1.16

Separiere Brüche.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.17

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.18

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.19

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Schritt 1.19.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.19.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.20

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{5} (x)$ heraus.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.21

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.22

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.23

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24

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Schritt 1.24.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.24.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.25

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.25.1

Bewege $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Schritt 1.25.2

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 1.25.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Schritt 1.25.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Schritt 1.25.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.26

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ und $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Schritt 1.27

Faktorisiere $\cos^{3} (x)$ aus $\cos^{4} (x)$ heraus.

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Schritt 1.28

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Schritt 1.29

Addiere $3$ und $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.30

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.31

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{6} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.31.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{6} (x)$ .

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Schritt 1.31.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.31.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Schritt 1.31.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{6} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$