Analysis Beispiele

$\int \sin (x) \sqrt{2 + 3 \cos (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Dann ist $d u = - 3 \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $3 \sin (x)$ von $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{2}{9} {(2 + 3 \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$