Analysis Beispiele

$\int_{p}^{2 p} x d x$

Schritt 1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{p}^{2 p}$

Schritt 2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $2 p$ und $p$ .

$(\frac{1}{2} {(2 p)}^{2}) - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 p$ heraus.

$\frac{1}{2} {(2 (p))}^{2} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (p)$ an.

$\frac{1}{2} (2^{2} p^{2}) - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (4 p^{2}) - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} p^{2} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $p^{2}$ .

$\frac{4 p^{2}}{2} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 p^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 p^{2})}{2} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 p^{2})}{2 (1)} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 p^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 p^{2}}{1} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $2 p^{2}$ durch $1$ .

$2 p^{2} - \frac{1}{2} p^{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $p^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 p^{2} - \frac{p^{2}}{2}$

Schritt 3.2

Um $2 p^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 p^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{p^{2}}{2}$

Schritt 3.3

Kombiniere $2 p^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 p^{2} \cdot 2}{2} - \frac{p^{2}}{2}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 p^{2} \cdot 2 - p^{2}}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $2 p^{2} \cdot 2 - p^{2}$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $2 p^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{p^{2} (2 \cdot 2) - p^{2}}{2}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $p^{2}$ aus $- p^{2}$ heraus.

$\frac{p^{2} (2 \cdot 2) + p^{2} \cdot - 1}{2}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} (2 \cdot 2) + p^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{p^{2} (2 \cdot 2 - 1)}{2}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{p^{2} (4 - 1)}{2}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{p^{2} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$\frac{3 p^{2}}{2}$