Analysis Beispiele

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ und $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Berechne $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ bei $2 π$ und $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.6.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Schritt 6.1.6.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Schritt 6.1.6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Schritt 6.1.6.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Schritt 6.1.6.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Schritt 6.1.6.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Schritt 6.1.7

Addiere $π$ und $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Schritt 6.2

Addiere $- 2 π$ und $0$ .

$- 2 π - π$

Schritt 6.3

Subtrahiere $π$ von $- 2 π$ .

$- 3 π$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 3 π$

Dezimalform:

$- 9.42477796 \dots$