Analysis Beispiele

$\int x \ln (x) x d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x \ln (x) d x$

Schritt 1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} \ln (x) d x$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} \ln (x) d x$

Schritt 1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Schritt 7.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$