Analysis Beispiele

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Schritt 1

Da $5.3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5.3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $5.3$ mit $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Schritt 3

Sei $u_{1} = w t$ . Dann ist $d u_{1} = w d t$ , folglich $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = w t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Schritt 3.1.2

Da $w$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $w t$ nach $t$ gleich $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $w$ mit $1$ .

$w$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{1} = w t$ ein.

$u_{lower} = w \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $w$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{1} = w t$ ein.

$u_{upper} = w \cdot 5$

Schritt 3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Schritt 4

Kombiniere $\sin^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{w}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{w}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{w}$ und $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Schritt 13

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 13.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 13.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Schritt 13.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Schritt 13.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Schritt 14

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Schritt 17

Kombiniere $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Schritt 18

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 18.1

Berechne $u_{1}$ bei $5 w$ und $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Schritt 18.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $10 w$ und $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Schritt 18.3

Addiere $5 w$ und $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Schritt 19.3

Addiere $\sin (10 w)$ und $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $26.5$ aus $26.5$ heraus.

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20.2

Faktorisiere $2$ aus $2 w$ heraus.

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20.3

Separiere Brüche.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20.4

Dividiere $26.5$ durch $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20.5

Kombiniere $13.25$ und $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Schritt 20.6

Faktorisiere $\frac{13.25}{w}$ aus $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ heraus.

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.7

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.8

Faktorisiere $13.25$ aus $13.25$ heraus.

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.9

Separiere Brüche.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.10

Dividiere $1$ durch $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.11

Dividiere $w$ durch $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.12

Multipliziere $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

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Schritt 20.12.1

Kombiniere $0.07547169$ und $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.12.2

Kombiniere $w$ und $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.13

Bringe $0.07547169$ auf die linke Seite von $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Schritt 20.14

Stelle die Terme um.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Schritt 21

Kombiniere $\sin (10 w)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$