Analysis Beispiele

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Schritt 1

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\tan (y)$ bei $\frac{π}{6}$ und $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Schritt 2.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.6

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Dezimalform:

$1.63299316 \dots$