Analysis Beispiele

$\int x (1 + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x (1 + x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2

Stelle $x$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Schritt 2.8

Addiere $2$ und $1$ .

$\int x + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$