Analysis Beispiele

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Schritt 8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$