Analysis Beispiele

$\int x \log_{5} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \log_{5} (x)$ und $d v = x$ .

$\log_{5} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\log_{5} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\log_{5} (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (5)} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x)$

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{\ln (5)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (5)}$ aus dem Integral.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (5)} \int x d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (5)}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (5) \cdot 2} \int x d x$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{5} (x)$ .

$\frac{\log_{5} (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{\log_{5} (x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (5))} x^{2} + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

Schritt 8.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (5)} + C$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$