Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{3 x - 4} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{3 x - 4}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = 3 x - 4$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 x - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{2 x}{9}$ und ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.6

Um $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Schritt 9.2.7

Kombiniere $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Schritt 9.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Schritt 9.2.9

Kombiniere $u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Schritt 9.2.10

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Schritt 9.2.11

Kombiniere $- 9$ und $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Schritt 9.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Schritt 9.2.13

Faktorisiere $9$ aus $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Schritt 9.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.14.1

Faktorisiere $9$ aus $135$ heraus.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Schritt 9.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Schritt 9.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.16

Um $2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.17

Kombiniere $2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.19

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Schritt 9.2.20

Schreibe $\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ als ein Produkt um.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Schritt 9.2.21

Mutltipliziere $\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Schritt 9.2.22

Mutltipliziere $15$ mit $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 4$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}) + C$