Analysis Beispiele

$\int x \sqrt[3]{81 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 81 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 81 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $81 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [81 + x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $81 + x^{2}$ .

$\frac{3}{8} {(81 + x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$