Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} (x) d x$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $x$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 9.2

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Schritt 9.3

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - 0))$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 + 0))$

Schritt 10.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.64269908 \dots$