Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $x$ bei $4$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Schritt 10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $8$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

Schritt 10.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

Schritt 11.3

Addiere $\sin (8)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

Schritt 11.4

Kombiniere $\sin (8)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

Schritt 12.2

Dividiere $0.98935824$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.49467912$ .

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

Schritt 12.4

Subtrahiere $0.49467912$ von $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

Schritt 12.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3.50532087$ .

$\frac{3.50532087}{2}$

Schritt 12.6

Dividiere $3.50532087$ durch $2$ .

$1.75266043$