Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 8 \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 7

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$4 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$4 (1 - \sin (0))$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 (1 - 0)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (1 + 0)$

Schritt 8.4

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$