Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$5 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\sec (x)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$5 (\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0))$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0))$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \frac{2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $5 \frac{2}{\sqrt{2}}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} - 5$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 5$

Schritt 3.4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 5$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 5$

Schritt 3.4.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 5$

Schritt 3.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 5$

Schritt 3.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 5$

Schritt 3.4.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 5$

Schritt 3.4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 5$

Schritt 3.4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Schritt 3.4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Schritt 3.4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{1}} - 5$

Schritt 3.4.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2} - 5$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2} - 5$

Schritt 3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)} - 5$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 5$

Schritt 3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1} - 5$

Schritt 3.4.3.2.4

Dividiere $5 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$5 \sqrt{2} - 5$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$5 \sqrt{2} - 5$

Dezimalform:

$2.07106781 \dots$