Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Schritt 5.2.4

Addiere $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ und $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 6.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 6.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 6.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{2}$

Schritt 6.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{2}$

Schritt 6.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$1$