Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Schritt 2

Sei $u = π - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = π - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π - x$ ein.

$u_{lower} = π - 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$u_{lower} = π$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π - x$ ein.

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Schritt 6

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{3 π}{4}$ und $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Schritt 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Schritt 7.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2} + 2$

Dezimalform:

$0.58578643 \dots$