Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sec (x)$ ein.

$u_{lower} = \sec (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sec (x)$ ein.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $\sqrt{2}$ und $1$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2}$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1$