Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + 0)$

Schritt 6.4

Addiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.35355339 \dots$