Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + \tan (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ ein.

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Schritt 1.3.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ ein.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Schritt 1.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Schritt 1.5.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $3$ und $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $4$ und $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Dezimalform:

$0.14384103 \dots$