Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{- 5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3

Bringe ${u_{2}}^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe ${u_{2}}^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 5}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ bei $\frac{1}{2}$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.4

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.5.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 7.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.8

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 7.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.11.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Schritt 7.2.11.2

Addiere $- 16$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Schritt 7.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Schritt 7.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{15}{8}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{15}{8}$

Dezimalform:

$1.875$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{7}{8}$