Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 9.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.4

Schreibe $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.11

Addiere $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ und $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.12

Um $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 9.3.13

Kombiniere $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Schritt 9.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Schritt 9.3.15

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.16

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 9.3.17.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 9.3.17.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

Schritt 10.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

Schritt 10.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

Schritt 10.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{π - 2}{8}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π - 2}{8}$

Dezimalform:

$0.14269908 \dots$