Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos (3 t)) \sin (3 t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (3 t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 \sin (3 t) d t$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = \sin (3 t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (3 t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t$ .

$- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 \sin (3 t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (3 t)$ ein.

$u_{lower} = \cos (3 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (3 t)$ ein.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{6})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 (2)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 3

Multipliziere $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{3})$ .

$\int_{1}^{0} 1 (- \frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{1}^{0} - 1 (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 (\frac{1}{3})$ als $- (\frac{1}{3})$ um.

$\int_{1}^{0} - (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + 1 u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 4.5

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} d u_{2} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u_{2} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- \frac{1}{3} u_{2}$ bei $0$ und $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ bei $0$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 9.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2})$

Schritt 9.3.9

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 9.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Schritt 9.3.12

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 9.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Schritt 9.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

Schritt 9.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{6}$

Schritt 9.3.15

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$