Analysis Beispiele

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 6 x$ . Dann ist $d u_{1} = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 6 x$ ein.

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 6 x$ ein.

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $6$ mit $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (\sqrt{u_{1}})$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , folglich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u_{2}$ und $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $u_{2} \sin (u_{2})$ bei $\sqrt{5.4}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Schritt 9.2

Berechne $- \cos (u_{2})$ bei $\sqrt{5.4}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Schritt 9.3.2

Addiere $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Schritt 10

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\sqrt{5.4}$ mit $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Schritt 11.3

Berechne $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Schritt 11.5

Addiere $0.68382614$ und $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Schritt 11.7

Subtrahiere $1.68382614$ von $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Schritt 11.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Schritt 11.9

Dividiere $0.01171557$ durch $3$ .

$0.00390519$