Analysis Beispiele

$x y + x^{3} = y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x y' + y + 3 x^{2}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + x y' + y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + x y' + y = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + x y' + y - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - 2 y y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ durch $x - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ durch $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y)}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (3 x^{2} + y)$ als $- 1 (3 x^{2} + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$