Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Schritt 5

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $3 u$ bei $1$ und $0$ .

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{1}{5} u^{5}$ bei $1$ und $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Schritt 7.3

Berechne $\frac{1}{10} u^{10}$ bei $1$ und $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.3

Addiere $3$ und $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.8

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.9

Addiere $\frac{1}{5}$ und $0$ .

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.11

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.12

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.13

Kombiniere $3$ und $\frac{20}{20}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.15.1

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.15.2

Addiere $60$ und $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.17

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Schritt 7.4.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

Schritt 7.4.19

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

Schritt 7.4.20

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{10}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

Schritt 7.4.21

Addiere $\frac{1}{10}$ und $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

Schritt 7.4.22

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

Schritt 7.4.23

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

Schritt 7.4.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $30$ .

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Schritt 7.4.24.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

Schritt 7.4.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.24.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.4.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.4.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

Schritt 7.4.25

Um $\frac{61}{20}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Schritt 7.4.26

Um $- \frac{1}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.4.27

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.27.1

Mutltipliziere $\frac{61}{20}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.4.27.2

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.4.27.3

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

Schritt 7.4.27.4

Mutltipliziere $15$ mit $4$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

Schritt 7.4.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

Schritt 7.4.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.29.1

Mutltipliziere $61$ mit $3$ .

$\frac{183 - 4}{60}$

Schritt 7.4.29.2

Subtrahiere $4$ von $183$ .

$\frac{179}{60}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{179}{60}$

Dezimalform:

$2.98\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{59}{60}$

Schritt 9