Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Schritt 1

Sei $u = \frac{π}{4} y$ . Dann ist $d u = \frac{π}{4} d y$ , folglich $\frac{4}{π} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{π}{4} y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4} y$ nach $y$ gleich $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = \frac{π}{4} y$ ein.

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = \frac{π}{4} y$ ein.

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{4}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{π}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\tan^{2} (u)$ und $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Schritt 2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Schritt 3

Da $\frac{4}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{4}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (u)$ in $- 1 + \sec^{2} (u)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 8

Kombiniere $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ und $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- u + \tan (u)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Schritt 10.4

Addiere $- \frac{π}{4} + 1$ und $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{4}{π}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Dezimalform:

$0.27323954 \dots$