Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Schritt 1

Sei $u = t^{4} + 7 t$ . Dann ist $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , folglich $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = t^{4} + 7 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} + 7 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = t^{4} + 7 t$ ein.

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = t^{4} + 7 t$ ein.

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $7$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $8$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.7

Addiere $2$ und $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 4.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Schritt 4.2.14

Addiere $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ und $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Dezimalform:

$15.08494466 \dots$

Schritt 6