Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x + 1$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $5$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Schritt 7.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (5)}{4}$

Dezimalform:

$0.40235947 \dots$

Schritt 9