Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2

Sei $u = 1 + t^{2}$ . Dann ist $d u = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $2 t$ .

$2 t$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 1 + t^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 1 + t^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Schritt 7

Berechne $\ln (| u |)$ bei $2$ und $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Schritt 9.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (2)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2)$

Dezimalform:

$0.69314718 \dots$

Schritt 11