Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} a x + b x^{2} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} a x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Schritt 2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$a \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Schritt 5

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $b$ aus dem Integral.

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$a ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$a (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$a (\frac{1}{2} - 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$a (\frac{1}{2} + 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$a \frac{1}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.6

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 7.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 7.2.3.11

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{a}{2} + b \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $a$ .

$\frac{a}{2} + \frac{1}{3} b$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $b$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Schritt 9