Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $32 y - 2$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $32 y$ heraus.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (16 y) + 2 (- 1)$ heraus.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Schritt 3

Sei $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Dann ist $d u = (16 y - 1) d y$ , folglich $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 y^{2} - y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 y^{2}$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $16 y - 1$ und $0$ .

$16 y - 1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 8 y^{2} - y + 1$ ein.

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 8 y^{2} - y + 1$ ein.

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Schritt 3.5.3

Addiere $7$ und $1$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ bei $8$ und $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.6.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Schritt 7.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.9

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.10

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 7.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.12.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Schritt 7.2.12.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Schritt 7.2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Schritt 7.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18}{2}$

Schritt 7.2.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 7.2.15.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Schritt 7.2.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Schritt 7.2.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1}$

Schritt 7.2.15.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9$

Schritt 8