Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{9} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} - u^{9} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} u^{9} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- (\frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{0})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $u^{10}$ .

$- (\frac{u^{10}}{10}]_{1}^{0})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{10}}{10}$ bei $0$ und $1$ .

$- ((\frac{0^{10}}{10}) - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{0}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $10$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{10 (0)}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (0 - \frac{1^{10}}{10})$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (0 - \frac{1}{10})$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $\frac{1}{10}$ von $0$ .

$- - \frac{1}{10}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{10})$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{10}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{10}$

Dezimalform:

$0.1$

Schritt 7