Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (z)$ und $d v = z^{2}$ .

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $z^{3}$ .

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (z)$ und $\frac{z^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $z^{3}$ und $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z^{3}$ und $z$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $z$ aus $z^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $z^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{2}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Schritt 6

Berechne $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Schritt 7

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert