Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = r^{2}$ und $d v = e^{3 r}$ .

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 r}$ .

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Schritt 2.2

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $\frac{1}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = r$ und $d v = e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Schritt 6.2

Kombiniere $r$ und $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

Schritt 8

Sei $u = 3 r$ . Dann ist $d u = 3 d r$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 3 r$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $3 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 r]$

Schritt 8.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $3 r$ nach $r$ gleich $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $r$ in $u = 3 r$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $r$ in $u = 3 r$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

Schritt 13

Kombiniere $e^{u}]_{0}^{6}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Schritt 14.2

Berechne $\frac{r e^{3 r}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Schritt 14.3

Berechne $e^{u}$ bei $6$ und $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 14.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.9

Addiere $\frac{4 e^{6}}{3}$ und $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.11

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.12

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.13

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 14.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.14.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.16

Addiere $\frac{2 e^{6}}{3}$ und $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Schritt 14.4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

Schritt 14.4.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Schritt 14.4.19

Um $\frac{2 e^{6}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Schritt 14.4.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.4.20.1

Mutltipliziere $\frac{2 e^{6}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Schritt 14.4.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Schritt 14.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

Schritt 14.4.22

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

Schritt 14.4.23

Mutltipliziere $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 14.4.24

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

Schritt 14.4.25

Bringe $2$ auf die linke Seite von $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 14.4.26

Um $\frac{4 e^{6}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 14.4.27

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.4.27.1

Mutltipliziere $\frac{4 e^{6}}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 14.4.27.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 14.4.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 14.4.29

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

Schritt 15.2

Subtrahiere $e^{6}$ von $6 e^{6}$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

Schritt 15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

Schritt 15.6

Subtrahiere $10 e^{6}$ von $36 e^{6}$ .

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Dezimalform:

$388.41291225 \dots$

Schritt 17