Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} {(x - 6)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 6$ ein.

$u_{lower} = 0 - 6$

Schritt 1.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 6$ ein.

$u_{upper} = 2 - 6$

Schritt 1.5

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 6}^{- 4} u^{2} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 6}^{- 4}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $- 4$ und $- 6$ .

$(\frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 64 - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 64$ .

$\frac{- 64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 216$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 216$ mit $- 1$ .

$- \frac{64}{3} + 216 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $216$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{216}{3}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{64}{3} + \frac{72}{1}$

Schritt 3.2.7.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$- \frac{64}{3} + 72$

Schritt 3.2.8

Um $72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $72$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 64 + 72 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.11.1

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$\frac{- 64 + 216}{3}$

Schritt 3.2.11.2

Addiere $- 64$ und $216$ .

$\frac{152}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{152}{3}$

Dezimalform:

$50.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$50 \frac{2}{3}$

Schritt 5