Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (y - 1) (2 y + 1) d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{2} y (2 y + 1) - 1 (2 y + 1) d y$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y + 1) d y$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $2$ um.

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + 1 \cdot y - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y^{1}) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{2} 2 y^{1 + 1} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 d y$

Schritt 1.13

Subtrahiere $2 y$ von $y$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} - y - 1 d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Schritt 10.2

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - y]_{0}^{2}$

Schritt 10.3

Berechne $- y$ bei $2$ und $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 10.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.5

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.6

Kombiniere $2$ und $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 + 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.13

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} - 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.15

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.18.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{16 - 6}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.18.2

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$\frac{10}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 10.4.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 + 0$

Schritt 10.4.20

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{10}{3} - 2$

Schritt 10.4.21

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 10.4.22

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.4.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.24.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{10 - 6}{3}$

Schritt 10.4.24.2

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{3}$

Schritt 12