Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{2} - x - 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$	-	$2$
					-	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 2$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$	-	$2$
					+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x$	-	$2$
					+	$2 x$	+	$2$
								$0$

Schritt 1.11

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int_{0}^{2} x - 2 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 2 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 2 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - 2 x]_{0}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ und $- 2 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]_{0}^{2}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 - 4 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.5

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$- 2 - (0 - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$- 2 - (0 + 0)$

Schritt 5.2.2.9

Addiere $0$ und $0$ .

$- 2 - 0$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 5.2.2.11

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 6