Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 - 1$

Schritt 1.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $3 u^{\frac{1}{3}}$ bei $1$ und $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Schritt 4.2.6

Berechne den Exponenten.

$3 - 3 \cdot - 1$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 + 3$

Schritt 4.2.8

Addiere $3$ und $3$ .

$6$

Schritt 5