Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 2.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{lower} = π \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{upper} = π \cdot 2$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $- \cos (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Schritt 13.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 13.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.6

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.8.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 13.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Schritt 13.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 13.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Schritt 13.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 13.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 13.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Schritt 13.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Schritt 13.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Schritt 13.4.12

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Schritt 13.4.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Schritt 13.4.14

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Schritt 13.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Schritt 14

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Schritt 15.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Schritt 15.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $0$ .

$0 + 4$

Schritt 15.6

Addiere $0$ und $4$ .

$4$