Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 24 e^{4 x} d x$

Schritt 1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$24 \int_{0}^{1} e^{4 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$24 \int_{0}^{4} e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$24 \int_{0}^{4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$24 (\frac{1}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $24$ .

$\frac{24}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $4$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{4 \cdot 6}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$6 (e^{u}]_{0}^{4})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $4$ und $0$ .

$6 ((e^{4}) - e^{0})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6 (e^{4} - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 (e^{4} - 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 e^{4} + 6 \cdot - 1$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 e^{4} - 6$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 e^{4} - 6$

Dezimalform:

$321.58890019 \dots$

Schritt 10