Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{8 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{- 8 y}$ und $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Schritt 3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- \frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Schritt 6

Sei $u = - 8 y$ . Dann ist $d u = - 8 d y$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 8 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Schritt 6.1.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 8 y$ nach $y$ gleich $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = - 8 y$ ein.

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = - 8 y$ ein.

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ bei $1$ und $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Schritt 12.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 8$ und $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $e^{- 8}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.3

Bringe $e^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 12.3.7.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.7.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.8

Addiere $- \frac{1}{8 e^{8}}$ und $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Schritt 12.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Schritt 12.3.11

Um $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ und $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.15

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.16

Kombiniere $e^{8}$ und $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.17

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $64$ .

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Schritt 12.3.18.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 e^{8}$ heraus.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.18.2.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 12.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Schritt 13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.2

Multipliziere $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

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Schritt 14.1.2.1

Kombiniere $\frac{e^{8}}{8}$ und $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.2.2

Multipliziere $e^{8}$ mit $e^{- 8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.2.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.3

Kombiniere $\frac{e^{8}}{8}$ und $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.7

Addiere $8$ und $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.9.2

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.1.9.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Schritt 14.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Schritt 14.3

Kombinieren.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $3 + e^{4}$ mit $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Schritt 14.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Dezimalform:

$0.01557782 \dots$

Schritt 16