Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Schritt 1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $11$ aus dem Integral.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + x^{11}$ . Dann ist $d u = 11 x^{10} d x$ , folglich $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + x^{11}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{11}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{11}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{11}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{10}$ und $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{10}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{11} u^{11}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $2$ mit $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Schritt 7.2.6

Subtrahiere $1$ von $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2047}{11}$

Dezimalform:

$186.\overline{09}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$186 \frac{1}{11}$

Schritt 9