Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 8 e^{2 x} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{2})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $2$ und $0$ .

$4 ((e^{2}) - e^{0})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 (e^{2} - 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{2} + 4 \cdot - 1$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 e^{2} - 4$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$4 e^{2} - 4$

Dezimalform:

$25.55622439 \dots$

Schritt 10