Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π x}{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{π x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{π}{2} d x$ , folglich $\frac{2}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{π x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{π x}{2}$ ein.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $π \cdot 0$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Schritt 1.3.1.2.4

Dividiere $π \cdot 0$ durch $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{π x}{2}$ ein.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{2}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{2}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Schritt 3

Da $\frac{2}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{2}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{π} \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\frac{2}{π}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{π}$

Dezimalform:

$0.63661977 \dots$