Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arcsin (y)$ und $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Schritt 2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Schritt 3

Sei $u = 1 - y^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 y d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 1 - y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 y$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$- 2 y$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 1 - y^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 1 - y^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ mit $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 8.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 8.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\arcsin (y) y$ bei $1$ und $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Schritt 10.2

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $0$ und $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\arcsin (1)$ mit $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.4

Addiere $\arcsin (1)$ und $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.8

Berechne den Exponenten.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Schritt 10.3.12

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 10.3.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Schritt 10.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 10.3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 10.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 10.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Schritt 10.3.14.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Schritt 11

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2} - 1$

Dezimalform:

$0.57079632 \dots$