Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 1$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{9}$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{10} u^{10}$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Schritt 7.2.3

Potenziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $\frac{1}{10}$ von $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{9}{20}$

Dezimalform:

$- 0.45$

Schritt 9