Analysis Beispiele

$y = 5^{3 x + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 5^{x}$ und $g (x) = 3 x + 7$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x + 7]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 7$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x + 7]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) (3 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) (3 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$5^{3 x + 7} \ln (5) \cdot 3$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5^{3 x + 7} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 x + 7} \ln (5)$