Analysis Beispiele

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Schritt 2

Sei $u = 0.7 (10 - t)$ . Dann ist $d u = - 0.7 d t$ , folglich $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 0.7 (10 - t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Schritt 2.1.2

Da $0.7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.7 (10 - t)$ nach $t$ gleich $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Schritt 2.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 2.1.4

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 2.1.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $- 0.7$ mit $1$ .

$- 0.7$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 0.7 (10 - t)$ ein.

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $0$ von $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $0.7$ mit $10$ .

$u_{lower} = 7$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 0.7 (10 - t)$ ein.

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $0.7$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{0.7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.7}$ aus dem Integral.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{0.7}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Schritt 9.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Dividiere $3$ durch $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 4.\overline{285714}$ mit $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Schritt 11